Dünyayı kontrol eden görünmez matematik

Albert Luszel Barabassi: Çok özel bir anda yaşıyoruz çünkü yaptığımız her şey verilerle işaretleniyor. Bu sadece bizim için değil, biyolojik ve küresel varlığımız için de geçerli.

Dünya hakkında ne kadar çok şey bilirsek, onun çok karmaşık bir sistem olduğunu o kadar çok anlarız. Biyolojik varlığımız oldukça karmaşık genetik ve moleküler ağlar tarafından yönetilir. Hücrelerimizdeki genler ve moleküller birbirleriyle nasıl etkileşime girer, ancak toplum aynı zamanda sadece bir bireyler topluluğu değildir. Toplum bir telefon rehberi değildir. Toplumun çalışmasını sağlayan şey gerçekten aramızdaki etkileşimlerdir.

Ancak soru şu: Bu karmaşıklığı nasıl anlıyoruz? Karmaşık bir sistemi anlamak istiyorsak, yapmamız gereken ilk şey onun yapısını ve arkasındaki ağı tanımlamaktır.

Hemen hemen her konuda veriye sahibiz ve bu muazzam miktardaki veri, dünya için harika ve eşsiz bir laboratuvar yaratıyor; Dünyamızın nasıl çalıştığını gerçekten anlama fırsatı sunuyor.

Grafik teorisi matematikçiler için çok önemli bir çalışma konusu haline geldi ve ben Macarım ve Paul Erdos ve Alfred Rennie sayesinde Macar Matematik Okulu’nun bu soruna büyük katkıları olduğu ortaya çıktı. 1959’60’ların ortalarında, “Rastgele Grafikler Teorisi”ni ortaya koyan sekiz makale yayınladılar.

Çevremizdeki bazı karmaşık ağlara baktılar ve “Bu ağların birbirine nasıl bağlı olduğu hakkında hiçbir fikrimiz yok, ancak tüm pratik amaçlar için rastgele görünüyor” dediler. Yani modelleri oldukça basitti: bir çift düğüm seçin ve bir zar atın. Altı tane alırsan, onları bağlayabilirsin. Bunu yapmazsanız, başka bir düğüm çiftine geçin. Bu fikirle bugün “rastgele ağ modeli” dediğimiz şeyi oluşturdular.

Bir fizikçinin bakış açısından ilginç olan, bizim için rastgeleliğin öngörülemezlik anlamına gelmemesidir. Aslında, rastgelelik bir öngörülebilirlik biçimidir. Ve bu tam olarak Erdős ve Rényi’nin kanıtladığı şey, rastgele bir ağda ortalamanın hakim olduğu.

Bir örnek vereyim: Sosyologlara göre ortalama bir insanın ilk isim bazında tanıdığı yaklaşık bin kişi vardır. Topluluk rastgele ise, en popüler kişinin, en çok arkadaşı olan kişinin yaklaşık 1150 arkadaşı olacaktır. Ve en az popüler olan 850 civarındadır.Bu, sahip olduğumuz arkadaş sayısının, ortalama etrafında büyük bir tepe noktası olan ve çok hızlı azalan bir Poisson dağılımı izlediği anlamına gelir.Açıkçası pek mantıklı değil, değil mi? Bu, rastgele ağ modelinde yanlış olan bir şeyin göstergesiydi. Modelin yanlış olduğu anlamında değil, ama ne gerçeği yakalıyor ne de ağların nasıl oluştuğunu yakalıyor.

Ağlara yıllarca ilgi duyduktan sonra, gerçek ağları açıklayan gerçek verileri bulmam gerektiğini fark ettim. Gerçek ağları incelemek için ilk fırsatımız bir World Wide Web haritasıyla geldi. World Wide Web’in bir ağ olduğunu biliyoruz. Adı söylüyor: bu bir ağ. Düğümler web sayfalarıdır ve bağlantılar, bir sayfadan diğerine gitmek için tıklayabileceğimiz şeyler olan URL’lerdir. Başlamak için World Wide Web’in icat edilmesinden yaklaşık altı veya yedi yıl sonra, 1998’den bahsediyoruz. Web çok küçüktü, yalnızca birkaç yüz milyon sayfa içeriyordu.

Bunun haritasını çıkarmak için yola çıktık ve bu gerçekten bugün “ağ bilimi” dediğimiz şeyin başlangıcı oldu. Bu World Wide Web haritasını aldığımızda, bunun önceki yıllarda oluşturulan rastgele ağ haritalarından çok, çok farklı olduğunu fark ettik. Daha derine indiğimizde, derece dağılımının, yani düğüm başına bağlantı sayısının, rastgele ağ için sahip olduğumuz Poisson’u takip etmediğini, bunun yerine güç yasası dağılımı dediğimiz şeyi takip ettiğini fark ederiz. Sonunda bu ağları “ölçeksiz ağlar” olarak adlandırdık.

Ölçeksiz bir ağda ortalamalardan yoksun kalırız. Ortalamalar anlamlı değildir. İçsel bir ölçekleri yoktur. her şey mümkün. Ölçeklerden yoksundurlar. Çoğu gerçek ağ, önceden var olan düğümlerin bağlanmasıyla oluşturulmaz, ancak bir düğümden başlayıp diğer düğümleri ve daha fazla düğüm ekleyerek büyür.

World Wide Web’i düşünün: 1991’de bir web sayfası vardı. Bugün bir trilyonu nasıl aşabiliriz? İlk sayfaya bağlanan başka bir web sayfası ve ardından önceki sayfalardan birine bağlanan başka bir sayfa oluşturuldu. Sonunda, bir web sayfası koyduğumuzda ve diğer web sayfalarına her bağlandığımızda, World Wide Web’e yeni düğümler eklersiniz. Ağ her seferinde bir düğüm oluşturur. Ağlar, bağlanması gereken sabit sayıda düğüme sahip statik nesneler değildir – ağlar büyüyen nesnelerdir. büyüme ile gelişmek.

Bazen World Wide Web’in bugünkü boyutuna ulaşması 20 yıl kadar uzun bir zaman aldı ya da hücre altı ağlar söz konusu olduğunda bugün gördüğümüz karmaşıklığa ulaşmak dört milyar yıl kadar sürdü. World Wide Web’de rastgele iletişim kurmadığımızı biliyoruz. Bildiklerimizle iletişim kurarız. Google, Facebook ve bildiğimiz diğer büyük web sayfalarına bağlanıyoruz ve en çok bağlantı verilen sayfalara bağlanma eğilimindeyiz. Bu nedenle, bağlantı modelimiz en çok bağlı düğümlere doğru eğilimlidir.

Bunu “tercihli ilişkilendirme” kavramıyla resmileştirdik. Ve büyüme ile tercihli bağlılığı bir araya getirdiğimizde, güç yasaları aniden paradigmadan ortaya çıkıyor. Ve aniden merkezlerimiz oldu, daha önce World Wide Web’de gördüğümüzle aynı istatistiklere ve aynı yapıya sahibiz. Hollywood’da hücrelerdeki metabolik ağa, hücrelerdeki protein etkileşimlerine ve aktörlerin birbirleriyle iletişim kurma biçimlerine bakmaya başladık. Tüm bu sistemlerde ölçeksiz ağlar gördük. Rastgele olmayışı gördük ve merkezlerin ortaya çıkışını gördük. Böylece, karmaşık sistemlerin kendilerini inşa etme biçimlerinin aynı genel yapıyı izlediğini anladık.

Açık olalım ki, ağ bilimi bilimde karşılaştığımız tüm problemlerin cevabı değildir, ancak birçok bileşenin etkileşiminden ortaya çıkan karmaşık sistemleri anlamak istiyorsak gerekli bir yoldur. Bugün sosyal ağ teorimiz, biyolojik ağ teorimiz ve World Wide Web teorimiz yok – bunun yerine hepsini tek bir bilimsel çerçevede tanımlayan ağ bilimimiz var.